Project Euler 63 - maple0705のブログ

${i}$ の ${n}$ 乗の対数(底10)をとることを考えます． ${(i,n\in \mathbf{N})}$
それによって ${i^n}$ の桁数が分かるので，
${n - 1 \leq n\log i < n}$
を満たせば良いと分かります．右辺より，
${\log i < 1 \Leftrightarrow i < 10}$
左辺より，
${\log i \geq 1-\frac{1}{n} \Leftrightarrow i \geq \lceil 10^{1-\frac{1}{n}} \rceil (\because i \in \mathbf{N})}$
${\therefore \lceil 10^{1-\frac{1}{n}} \rceil \leq i < 10}$
この左辺は， ${n \rightarrow}$ 大で，10に近づき，9.0を超えると上の不等式を満たす ${i}$ は存在しなくなります．
${\lceil 10^{1-\frac{1}{n}} \rceil > 9.0}$
${\therefore n > 21.8}$
を得ます．従って， ${1 \leq n \leq 21}$ について，3つ上の不等式を満たす ${i}$ の個数を足し合わせれば答えが求まります．

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